Resumen

Presentamos algunas rutinas de un programa para el sistema computacional CoCoA, las cuales realizan el cómputo de familias de polinomios de simétricos, entre ellas los polinomios de Schur. Con estas rutinas se pueden comprobar propiedades combinatorias que relacionan tablas de Young y polinomios skew de Schur.

INTRODUCCIÓN

Los polinomios de Schur forman una base para el anillo de polinomios. Por lo tanto, los polinomios skew de Schur son combinaciones lineales de los polinomios de Schur y sus coeficientes son conocidos como los coeficientes de Littlewood Richardson, los cuales permiten contar tablas de Young con algunas propiedades. Son precisamente estas propiedades combinatorias las que queremos poner de manifiesto con el uso de las rutinas de nuestros programas.

En particular, deseamos ver que las ecuaciones

S_λ/µ (x₁ ,..., x_n) = ∑ c^λ_µ,v S_v   (1.1)

S_λ/µ (x₁ ,..., x_n) = ∑ x^Τ           (1.2)

se satisfacen y hallar explícitamente el valor de los coeficientes c^λ_µ,v y su relación con el número de las tablas de Young de la forma _λ/µ

Inicialmente recordaremos las definiciones y propiedades básicas de estos polinomios, para luego presentar los programas.

DEFINICIONES

Seanu n entero positivo y λ = (λ₁ ,..., λ_k) una partición de n. Entonces se tiene que

 ∑ λ_i = n

ι=1

λ_i ≥...≥λ_k>0

Cada partición se identifica con un diagrama de Ferre, el cual es un arreglo de cajas alineadas a la izquierda, en donde la fila i contiene λi cajas. Si λ es partición n de escribiremos |λ| = n.

Ejemplo 1. El diagrama de Ferre para la partición es de la forma

Si enumeramos las cajas del diagrama de Ferre de la partición λ y |λ| = n, con números del conjunto {1,...,n} de tal forma que las filas y columnas forman sucesiones estrictamente crecientes al leerlas de izquierda a derecha y de arriba abajo respectivamente, entonces llamamos a esta enumeración una tabla estándar. Si las filas son no decrecientes (es decir, permitimos repeticiones por filas), pero las columnas son estrictamente crecientes, decimos que la tabla es semiestándar.

Ejemplo 2. Para la partición (4,2,1) las siguientes tablas son ejemplos de tabla estándar y semiestándar respectivamente.

Si λ, µ son particiones, decimos que µ ≤ λ si para todo i se tiene que µ_i ≤ λ_i.

Ejemplo 3. Si µ = (2,1) y λ = (4,2,1) entonces µ ≤ λ.

• Materias:Análisis Matemático Matemáticas Modelo Matemático Polinomios
• Subjects:Mathematical Analysis mathematics Mathematical model Polynomials
• Palabras claves:Polinomios simétricos, polinomios de Schur, polinomios skew de Schur, tablas de Young.
• Keywords:Symmetric polynomials, Schur polynomials skew Schur polynomials, Young tableaux