Resumen

En este trabajo se plantea el problema del régimen de suministro de insulina en un paciente diabético como un problema de control óptimo, de tal manera que no se genere sobredosis o insuficiencia del medicamento hormonal bajo diferentes estilos de alimentación. La interacción entre la glucosa e insulina se modela como un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se prueba la existencia y unicidad global de la solución de dicho sistema, al igual que la del control óptimo. El problema de control óptimo se resuelve de manera directa empleando el método de programación cuadrática secuencial. Los resultados numéricos sugieren establecer, según el estilo de alimentación del paciente, el nivel de concentración de glucosa prescrito a mantener durante el día. Se espera que el estudio analítico y numérico de esta propuesta sea de ayuda en futuros desarrollos en bombas de insulina.

1. INTRODUCCIÓN

La diabetes es una patología que se caracteriza por una elevada cantidad de glucosa que permanece circulando por el torrente sanguíneo, debido a que el páncreas deja de producir insulina o produce muy poca cantidad. El principal tratamiento de esta enfermedad consiste en la administración de insulina fabricada artificialmente en laboratorios farmacéuticos, intentando así imitar el funcionamiento del páncreas. Actualmente, la inyección de insulina en pacientes diabéticos puede hacerse a través de bombas de infusión continua, pero estas bombas aún dependen de la manipulación del paciente, que sigue siendo sobre quien recae la responsabilidad de realizar los cálculos de la cantidad de insulina a suministrar y aceptar o corregir las sugerencias hechas por el dispositivo. Errores en estos cálculos pueden ocasionar problemas de salud que afectan considerablemente la calidad de vida del paciente, por lo que se busca dotar a estos dispositivos de un algoritmo capaz de estimar la cantidad de insulina necesaria en cada momento para mantener la concentración de glucosa dentro de un rango objetivo, usando la menor cantidad de medicamento que sea posible. Esto se conoce en matemáticas como un problema de control óptimo, y en este trabajo se presenta una alternativa de solución a este problema. Automatizar y mejorar el manejo de la diabetes es el principal objetivo de desarrollar lo que se denominaría un páncreas artificial.

Desde el punto de vista matemático se han propuesto y analizado diversos modelos matemáticos para entender la regulación normal o anormal de la glucosa. El primer modelo relevante que describe la interacción entre glucosa e insulina, fue introducido por [10] y estudiado en [1]. En estos trabajos se propone un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, que interpreta la dinámica glucosa insulina como un oscilador armónico amortiguardo, se emplean varias mediciones de glucosa en perros [10] y resultados de la prueba oral de glucosa en humanos [1] para estimar los parámetros del modelo.

• Materias:Análisis Matemático Programación no-lineal Control de glucosa Biología
• Subjects:Mathematical Analysis Non-linear programming Glucose monitoring Biology
• Palabras claves:Control Óptimo; Programación No Lineal; Dinámica Glucosa-Insulina; Diabetes; Biología Matemática
• Keywords:Optimal Control; Nonlinear Programming; Glucose-Insulin Dynamics; Diabetes; Mathematical Biology