Sea d⩾2dgeqslant2 un entero y ΠPi una partición de d. En este artículo se estudia el problema de para qué pares de enteros (a, b) existe un recubrimiento ramificado F:Σ→D2={z∈C:∣z∣⩽1}F : Sigma o D^2 = egin{Bmatrix} z in cnums : |z| leqslant 1end{Bmatrix} que tenga a valores críticos, X(Σ)=−bX (Sigma) = - b , y tal que la monodromía que se obtiene cuando se recorre la frontera de D2D^2 en sentido positivo pertenece a la clase de conjugancia en el grupo simétrico Sd determinada por la partición π. Se estudian cuatro variantes de este problema: i) sin requerir conexidad del dominio, ii) requiriendo conexidad del dominio, iii) sin requerir conexidad del dominio, pero exigiendo que el recubrimiento sea semiestable, iv) requiriendo que el dominio sea conexo y que el recubrimiento sea semiestable. Se obtienen soluciones completas de las primeras dos variantes, y se obtiene una solución parcial de las variantes restantes. Además se explica cómo el interés por estos problemas surge del estudio de una pregunta análoga para funciones cuyo dominio es 4-dimensional.
1 INTRODUCCIÓN
El interés por el problema que es tema de este artículo surgió del estudio de una conjetura de los autores, referente a la relación entre el número de fibras singulares y la característica de Euler del espacio total, de una función localmente holomorfa y relativamente minimal F : M → D2 donde M es una 4-variedad suave con frontera, que es compacta, orientada y conexa, y D2 = {z ∈ C:|z|⩾1} es el disco cerrado unitario en el plano complejo. A grandes rasgos, la conjetura mencionada puede ser descrita de la siguiente manera. Sea Σg una 2-variedad suave sin frontera, que es compacta, conexa, orientada y de género g > 0, Dif+(Σg) el grupo de autodifeomorfismos de Σg que preservan orientación, y Mg el grupo cuyos elementos son las clases de isotopía de elementos de Dif+(Σg), y cuya operación es la inducida por la operación de composición de Dif+(Σg). Sea π una clase de conjugancia de un elemento de Mg, y denotemos por Ccπ a la colección formada por todas las funciones localmente holomorfas y relativamente minimales F : M → D2, cuyo dominio es una variedad 4-dimensional (no fija) con las características ya mencionadas, tales que sus fibras no singulares son cada una difeomorfa a Σg, y la monodromía que se obtiene cuando se recorre en sentido positivo la frontera de D2, pertenece a π. Para cada entero χ tal que la colección Ccπ,χ : ={F : M → D2 ∈ Ccπ : χ(M) =χ} es no vacía, se define kπ(χ) como el mínimo de los números de fibras singulares (o, equivalentemente, de valores críticos) de elementos de Ccπ,χ.
Conjetura 1.1. La función kπ es no decreciente y límχ→+∞ kπ(χ) = +∞.
En [1] se prueba un resultado que apunta en la dirección de la conjetura
1.1. Este afirma que para g >1, si id es la clase de conjugancia del autodifeomorfismo identidad de Σg, y F : M → D2 ∈ Ccid es semiestable, es decir, es tal que para cada punto crítico p ∈ intM, existen cartas alrededor de p y de F(p), que van a abiertos de C2 y C, respectivamente, y que preservan orientación, respecto a las cuales F toma la forma (z, w) →z2+w2, entonces
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