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El problema del cumpleaños, una generalizaciónThe birthday problem: an overview

Resumen

El problema del cumpleaños, en el contexto clásico, se resuelve asumiendo una distribución de probabilidades uniforme discreta de los nacimientos. El propósito de este artículo es resolver el mismo problema bajo una distribución de probabilidades discreta arbitraria, y demostrar que bajo la distribución uniforme discreta, la probabilidad de que dos o más personas cumplan años en el mismo día es subestimada.

INTRODUCCIÓN

El problema del cumpleaños se presenta de la siguiente manera, ver [2], [3], [4], [5]: Se supone que a una reunión asisten k personas, las cuales registran el día de su cumpleaños. Se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más personas, de las k asistentes, cumplan años el mismo día?

A cada fecha de cumpleaños se le asigna un número entero entre 1 y 365, no teniendo en cuenta el año bisiesto, por ejemplo si una persona cumple años el 25 de marzo entonces se le asignará el número 84 = 31 + 28 + 25.

En el siguiente análisis se asume que k < 365, pues en caso contrario se tendrá la solución trivial: probabilidad de que dos o más personas cumplan años el mismo día es igual a 1.

Este problema se resuelve utilizando el complemento del evento definido por “dos o más personas cumplan años el mismo día”, es decir, calculando la probabilidad del evento “todos los k asistentes cumplen años en día diferente”.

Planteamiento del problema clásico.

Sea Ω ={n∈N: 1 ≤ n ≤ 365} el espacio muestral, la sigma álgebra es ℑ = 2 el conjunto de partes del espacio muestral, y la medida de probabilidad P está definida, sobre los eventos simples unitarios, por.

P ({ω})= 1/365,∀ω∈Ω.

El evento a medir es

A={(x1,x2,...,xk)∈Ωk:

x≠ xj ∀i,j∈ {1,2,...k} i ≠ j}

Empleando argumentos de conteo, se encuentra que P(A)= per(365,k)/365k, donde per(365,k)= 365!/(365-k)! es el número de permutaciones de tamaño k en el conjunto Ω.

De esta manera la probabilidad de que haya dos o más, de los k seleccionados aleatoriamente, que cumplan años el mismo día es

P(Ac)=1−P(A)=1− per(365,k)/365k.

La siguiente tabla muestra los valores de la probabilidad P (Ac) para distintos valores de k.

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