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En este artículo definimos y estudiamos formas generalizadas de las funciones gama y beta matriz variadas extendidas. Utilizando varios resultados del álgebra matricial, funciones especiales de argumento matricial y polinomios zonales, derivamos algunas de las propiedades de estas funciones. También mostramos algunas aplicaciones de estas funciones a la teoría de distribuciones.
1 INTRODUCCIÓN
La función gamma fue introducida por primera vez por Leonard Euler en 1729, como límite de una expresión discreta y posteriormente como una integral impropia absolutamente convergente, a saber
Γ(a)=∫0∞ta−1exp(−t)dt,Re(a)>0.Γ(a) =displaystyleint_{0}^∞ t^{a−1}exp(−t) dt,Re(a)>0. (1)
La función gamma tiene muchas propiedades hermosas y se ha utilizado en casi todas las ramas de la ciencia y la ingeniería.
Un año más tarde, Euler introdujo la función beta definida para un par de números complejos a y b con partes reales positivas, mediante la integral}
B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1dt,Re(a)>0,Re(b)>0.B(a,b) = displaystyleint_{0}^1 t^{a−1}(1−t)^{b−1}dt,Re(a)>0,Re(b)>0. (2)
La función beta tiene muchas propiedades, incluyendo la simetría, B(a,b) = B(b,a), y su relación con la función gamma,
B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)B(a,b) = frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)}
En la teoría de la distribución estadística, las funciones gamma y beta se han utilizado ampliamente. Utilizando integradas de funciones gamma y beta, se suelen definir las funciones de densidad gamma y beta.
Recientemente, los dominios de las funciones gamma y beta se han ampliado a todo el plano complejo introduciendo en los integradores de (1) y (2) los factores exp (-σ/t) y exp (-σ/t(1 - t)), respectivamente, donde Re(σ) > 0. Las funciones así definidas se han denominado funciones gamma y beta ampliadas.
En 1994, Chaudhry y Zubair (7 definieron la función gamma extendida
Γ(a; σ), como
(3)
Esta es una versión de prueba de citación de documentos de la Biblioteca Virtual Pro. Puede contener errores. Lo invitamos a consultar los manuales de citación de las respectivas fuentes.
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