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Generación De Polinomios De Schubert Con Cocoa I: Diagramas De RotheSchubert Polynomial Generation With Cocoa I: Rothe Diagrams

Resumen

Se presenta una implementación en el sistema computacional CoCoA de un programa que realiza el cómputo de los polinomios de Schubert, haciendo uso de los diagramas de Rothe.

INTRODUCCIÓN

Dos propiedades importantes de los polinomios de Schubert son: primero, que ellos representan fielmente el anillo de clases de cohomología de las variedades bandera y segundo, los polinomios de Schur son un caso particular de los polinomios de Schubert. Esto hace de los polinomios de Schubert objetos matemáticos dignos de ser estudiados. Recientemente, se ha logrado su generalización para anillos de cohomología cuántica, y su expansión en términos de monomios elementales cuánticos. De esta forma se obtienen relaciones sorprendentes entre combinatoria, topología, geometría algebraica, métodos numéricos y física.

Los polinomios de Schubert fueron definidos inicialmente por Lascoux y Schützenberger. El programa que se presenta calcula los diagramas de Rothe asociados a los elementos de Sn, los movimientos permitidos en ellos y hace uso de estos diagramas para el cómputo de los polinomios de Schubert. La presentación moderna de los diagramas de Rothe y su uso en la construcción combinatoria de los polinomios de Schubert se debe a Winkel (Winkel, 95) y los movimientos permitidos sobre los diagramas es una idea de Kohnert. Otros métodos combinatorios se han dado para generar estos polinomios, por ejemplo, con grafos rc (Bergeron and Billey, 1993).

Inicialmente se presentan algunas definiciones básicas necesarias para la presentación del programa.

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Sean Sn el grupo simétrico sobre n elementos y Z[x1,..., xn]el anillo de polinomios en las variables x1,..., xn con coeficientes en los enteros. Se define el operador de diferencias dividido ∂k como

en donde f ∈ Z[x1,...,xn] y

skf (...,xk,xk+1,...)= f(...,xk+1,xk,...) representa la acción natural de Sn  sobre Z[x1,..., xn].

El operador de diferencias dividido satisface las siguientes propiedades:

1. ∂kf es simétrico en xk y xk+1

2. ∂2i = 0

3. ∂k conmuta con funciones simétricas en xk y xk+1. Es decir si g es simétrica en xk y xk+1 entonces 

k (fg)=g∂kf.

4. En general se tiene

k (fg)=g(∂kf) + skf(∂kg).

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