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La regla de cramer a partir del producto generalizado en ℜnCramers rule from the generalized product in ℜn

Resumen

En el espacio vectorial euclídeo ℜ3  se definen el producto vectorial y el producto triple, a partir de la interpretación geométrica de estos productos, definimos el producto vectorial en los espacios vectoriales ℜ2 , ℜ4 y ℜn . Con el producto vectorial generalizado se presenta una deducción elemental de la regla de Cramer.

En ℜ3 dados dos vectores B y C, el producto vectorial se define como una operación binaria donde el vector que se obtiene B×C es ortogonal a B y es ortogonal a C, y su norma, ||B×C|| es la medida (área) del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores B y C. Si tenemos otro vector A, al producto punto o escalar A · (B × C) se le denomina el producto “triple” y es igual al determinante de la matriz cuyos vectores filas o columnas son los vectores A, B y C. El valor absoluto de este determinante corresponde a la medida (volumen) del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores A, B y C.

Estas ideas las podemos copiar en ℜ2, ℜ4 y en general en ℜn. Veamos:

En ℜ2

Dados dos vectores A y B la medida (área) del paralelogramo determinado por A, B está dada por ||A|| ||B|| senα, donde α el ángulo entre estos vectores; si construimos un vector X ortogonal a A y tal que la norma de X sea igual a la norma de A, la medida (área) del paralelogramo nos queda ||X|| ||B|| cosα, que es igual al producto punto entre X y B, para encontrar el vector X planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones

A·X = 0

||X||2 = ||A||2


Si A = (a,b) el sistema tiene dos soluciones: X = (b,–a) o X = (–b,a). Imitando la definición nemotécnica del producto vectorial en ℜ3:

                                  │i    j   k 

(a1 a2 a3) x (b1 b2 b3)=│a1 a2 a3

                                  │b1 b2 b3

en ℜ2 tenemos:
             │i    j│
X = xA = │a  b│= bi-aj = (b,-a)

Definición 1. La operación unaria de ℜ2 en ℜ2 definida como
           │i    j│
x(a,b) =│a  b│= (b,-a)
la denominamos Producto vectorial en ℜ2.
Observe que (x A) · B es el determinante de la matriz cuyas filas o columnas son los vectores A y B, y en valor absoluto corresponde a la medida (área) del paralelogramo.

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