Resumen

En este trabajo presentamos la solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria en la representación de coordenadas y de momento para tres problemas sencillos: el potencial lineal, el oscilador armónico y el potencial tipo delta de Dirac. Verificamos a través del cálculo explícito que las funciones de onda obtenidas en cada representación están conectadas a través de la transformada de Fourier, mostrando que ambas soluciones constituyen dos representaciones complementarias del mismo estado cuántico. Desde un punto de vista pedagógico esto muestra que ambas soluciones contienen información de igual valor teórico y constituyen dos representaciones complementarias.

1 INTRODUCCIÓN

En mecánica cuántica es posible abordar la mayoría de problemas a través de dos representaciones continuas: la representación de posición y la representación de momento. Sin embargo, es común que en los libros de textos y cursos tradicionales de mecánica cuántica 1 2 3 4 5) no se profundice en el estudio de la representación de momento lineal, suministrando únicamente una introducción formal y breve del tema. El hecho de que la ecuación de Schrödinger en la representación de momento se convierta en una ecuación integral, para la cual los estudiantes de pregrado pueden no tener las herramientas matemáticas suficientes para darle solución, en lugar de una típica ecuación diferencial como en la representación de coordenadas puede ser una de las razones por las que en los textos y cursos a nivel de pregrado se dedique mayor atención a esta última representación y se indique simplemente que la función de onda en el espacio de momento se calcula a través de la transformada de Fourier de la función en el espacio de coordenadas. Pero debe recalcarse, como lo sería la Guillaumín-Espafia et al. 6, que los operadores de posición y momento tienen roles simétricos en la teoría y por tanto, a nuestro parecer, el uso extendido de la representación de posición obedece a cuestiones pedagógicas.

Algunos autores han incursionado en la solución de problemas unidimensionales en la representación de momento. Por ejemplo, el potencial lineal, oscilador armónico, el átomo de Hidrógeno unidimensional y algunos pozos y barreras de potencial 6 7 8 9 pero en la mayoría, no se presenta una versión unificada en la que se resuleva el problema en ambas representaciones y además se verifique que tales soluciones están conectadas por la transformada de Fourier.

• Materias:Osciladores Mecánica cuántica Ecuaciones
• Subjects:Oscillators Quantum mechanics Equations
• Palabras claves:ecuación de Schrödinger, representación de coordenadas y de momento, transformada de Fourier
• Keywords:Schrödinger equation, coordinates and momentum representations, Fourier transform