Resumen

Nuestro propósito en este artículo es investigar las propiedades de simetría y reversibilidad para álgebras cuánticas y extensiones PBW torcidas. Bajo ciertas condiciones mostramos que estas propiedades se transfieren de un anillo de coeficientes a un álgebra cuántica o extensión PBW torcida sobre este anillo. De esta manera generalizamos diversos resultados establecidos en la literatura, y los ampliamos a álgebras antes no estudiadas. Ilustramos nuestros resultados con ejemplos destacados de la física teórica.

1 INTRODUCCIÓN

Dos de los tres conceptos de interés en este trabajo son la simetría y la reversibilidad.  Un anillo B se llama simétrico, si abc ⇒ acb= 0, para cada elemento a, b, c ∈ B. Se dice que es reversible, si ab= 0 implicaba= 0, para cada a, b ∈ B (esta noción fue introducida por Lambek en [1]).  Obsérvese que simétrico implica reversible.  Anderson y Camillo [2], Teorema 1.3, demostraron que los anillos reducidos son simétricos (Bis se llama reducido si B no tiene elementos nilpotentes no nulos). Por supuesto, los anillos conmutativos son simétricos. Sin embargo, los anillos polinómicos sobre anillos reversibles no tienen por qué ser reversibles, y los anillos polinómicos sobre anillos simétricos no tienen por qué ser simétricos (véase [3] y [4] para ejemplos adecuados de estas afirmaciones). El tercer concepto que nos interesa en este artículo es el de anillo de Armendariz.  Rege y Chhawchharia [5] introdujeron la noción de anillo de Armendariz B, si para los elementos $f= extstylesum_{i-0}^sa_ix^i, g= extstylesum_{j-1}^t b_jx^j∈B[x]$ que satisfacen fg= 0, entonces a_ib_j= 0, para cada i, j. Desde entonces, el término Armendariz fue utilizado incluso por el propio Armendariz [6] que demostró que un anillo reducido satisface esta condición.

Con el objetivo de estudiar las versiones polinómicas no conmutativas de simetría, reversibilidad y Armendariz en el contexto de las extensiones de Ore definidas por Ore [7], se han considerado varias nociones en la literatura:

(1) anillo rígido introducido por Krempa [8]: un endomorfismo σ de un anillo B se llama σ-rígido, si aσ(a) = 0 ⇒ a = 0, para todo a B. B se llama σ-rígido, si existe un endomorfismo rígido σ de B. Se puede demostrar que cualquier endomorfismo rígido es inyectivo y los anillos σ-rígidos son reducidos (ver Hong et al. [9]). En la literatura se han estudiado diferentes propiedades de los anillos σ-rígidos (ver [10] y [11] para una lista detallada de trabajos). (2) σ-skew Armendariz definido por Hong et al. [12]: si σ es un endomorfismo de un anillo B, entonces se dice que B es σ-skew Armendariz, si siempre que los polinomios $f= extstylesum_{i-0}^s a_ix^i, g= extstylesum_{j-0}^t b_ix^i ∈B[x;σ]$ con fg= 0, entonces a_iσⁱ(b_j) = 0, para todo i,j.​

• Materias:Ecuaciones Análisis Matemático Álgebra
• Subjects:Equations Mathematical Analysis Algebra
• Palabras claves:Simetría; reversibilidad; Álgebra cuántica; Extensión torcida de Poincaré-Birkhoff-Witt
• Keywords:Symmetry; Reversibility; Quantum algebra; Skew Poincaré-Birkhoff-Witt extension