Resumen

Diversas distribuciones generalizadas se desarrollan en la literatura estadística, entre ellas se encuentra la distribución Secante Hiperbólica Generalizada (SHG). En este documento se presenta un método alternativo para la estimación de los parámetros poblacionales de la SHG, llamado Máxima Verosimilitud Modificada (MVM). Asumiendo algunas expresiones alternas que difieren con el trabajo de Vaughan en el 2002 y basándose en el mismo conjunto de datos de la fuente original. Se implementa computacionalmente el método transformado de MVM, permitiendo observar unas buenas aproximaciones de los valores de los parámetros de localización y escala, presentados por Vaughan en su artículo. Con esto se pretende que en la práctica se cuente con una metodología diferente para estimar.

1 INTRODUCCIÓN

La distribución secante hiperbólica (SH), fue estudiada primero por Baten [1] y por Talacko [2], su función de densidad de probabilidad con media cero y varianza uno, está dada por

​$fSH(x)=\frac{1}{2cosh(\pi x=2{)}^{;}}x\in R;$     (1)

o, de manera equivalente, su función de distribución acumulada está dada por

​$FSH(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctan(sinh(\pi x=2)).$     (2)

Esta distribución posee propiedades importantes. Tiene una leptocurtosis mayor que la normal y la logística, la función generadora de momentos existe. Desde 1956 se han propuesto dos generalizaciones. La primera, fue la distribución NEF-SHG, propuesta por Morris [3] en el contexto de las familias exponenciales naturales (NEF). La función de densidad de probabilidad de la distribución NEF-SHG está dada por

​$f(x;\lambda ;\theta )=\frac{2^{\lambda -2}}{\pi \Gamma (\lambda )}\left|\Gamma \right(\frac{\lambda +ix}{2}){|}^{2}exp\{\theta x+\lambda log(cos\theta )\};$     (3)

para λ > 0 y |θ| < π=2: Recientemente, Vaughan [4] propuso una familia de distribuciones simétricas, que llamó distribución SHG. Esta se compone de distribuciones con curtosis que van desde 1; 8 hasta el infinito e incluye la logística como un caso especial, la uniforme como un caso límite y se aproxima a las distribuciones normal y la t de Student con curtosis correspondientes. Por otra parte, el método utilizado generalmente para estimar los parámetros de localización y escala de la SHG (Máxima Verosimilitud (MV)), presenta algunas complicaciones que se mencionan en Vaughan [4]. Por consiguiente, se usarán las estimaciones de MVM en este trabajo.

2 METODOLOGÍA

En esta sección se detalla la metodología que se seguirá, en la cual se expone primero aspectos relacionados con la SHG. 

• Materias:Distribución (Teorí­a de probabilidades) Análisis de datos
• Subjects:Distribution (probability theory) data analysis
• Palabras claves:Distribución secante hiperbólica generalizada; Máxima verosimilitud modificada; Estimación de parámetros
• Keywords:Generalized secant hyperbolic distribution; Modified maximum likelihood; Estimation of parameters