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Pöschl-Teller potentials based solution to Hilbert’s tenth problemSolución al décimo problema de Hilbert basada en los potenciales de Pöschl-Teller

Resumen

Los hipercomputadores computan funciones o números, o en general solucionan problemas que no pueden ser computados o solucionados por una máquina de Turing. Se presenta una adaptación del algoritmo cuántico hipercomputacional propuesto por Tien D. Kieu, al  álgebra dinámica su(1,1) realizada en los potenciales Pöschl-Teller. El problema clásicamente incomputable que se resuelve con este algoritmo hipercomputacional es el décimo problema de Hilbert. Se señala que una condición matemática fundamental para estos algoritmos es la existencia de una representación unitaria infinito dimensional irreducible de  álgebras de baja dimensión que admitan la construcción de estados coherentes del tipo Barut-Girardello. Adicionalmente se presenta como caso límite del algoritmo propuesto sobre los potenciales Pöschl-Teller, el algoritmo hipercomputacional sobre la caja de potencial infinita construido previamente por los autores.

Introducción

En un memorable congreso internacional de matemáticas celebrado en París en 1900, David Hilbert propuso una serie de veintitrés problemas que, según su propósito, marcarían el futuro de las matemáticas en el siglo XX. El décimo problema consistía en encontrar un procedimiento eficaz que determinara si una ecuación diofantina tenía o no una solución entera no negativa. La respuesta negativa a ese problema fue encontrada 70 años más tarde por Yury V. Matiyasevich [2], que resolvió el décimo problema de Hilbert, estableciendo su equivalencia con el problema de Halting (el problema incomputable por antonomasia de la máquina de Turing).

Los hiperordenadores computan funciones o números, o más generalmente resuelven problemas o realizan tareas, que no pueden ser computadas o resueltas por una máquina de Turing (MT) [3, 4].  Desde 2001, Tien D. Kieu ha propuesto que aunque el décimo problema de Hilbert no es computable en el ámbito de las máquinas de Turing, es posible después de todo computarlo [5, 6, 7, 8], pero dentro de un nuevo paradigma de computación denominado hipercomputación adiabática cuántica [9, 10]. La propuesta de Kieu ha generado mucha controversia porque se basa en argumentos que son polémicos por sí mismos o que, al menos, no son unánimemente aceptados, como los que se derivan de la hipercomputación [11, 12, 13, 14]. Sin embargo, hasta ahora, nadie ha establecido argumentos bien fundados que muestren alguna falacia en la construcción hipercomputacional de Kieu [8, 15, 16]. En este sentido, la idea de Kieu sigue siendo válida.

El propósito de este trabajo es presentar un algoritmo de hipercomputación cuántica á la Kieu para el décimo problema de Hilbert, que aporta importantes consideraciones sobre el papel que juegan las representaciones irreducibles unitarias (UIR) de dimensión infinita de las álgebras dinámicas en el contexto hipercomputacional. Dado que nuestro algoritmo resuelve un problema incomputable para la máquina de Turing, no es posible hacer una comparación en términos de complejidad algorítmica entre nuestro algoritmo y un posible algoritmo computable por la máquina de Turing.

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