Resumen

En este artículo se considera el problema de Cauchy para un sistema no simétrico de tipo Keyfitz-Kranzery utilizando argumentos de viscosidad nula junto con el método de compacidad compensada se obtiene soluciones débiles entrópicas globales. La principal dificultad es obtener estimaciones uniformemente acotadas en el método de viscosidad y en este trabajo se estudia.

1 INTRODUCCIÓN

Muchos de los fenómenos naturales se modelan mediante ecuaciones diferenciales parciales.  Algunas de las ecuaciones diferenciales parciales más comunes son la ecuación de onda, la ecuación del calor, la ecuación de Schröndinger y la ecuación de KdV.  En este tipo de problemas es interesante estudiar la existencia y unicidad de soluciones, lo que en muchos casos no es una tarea fácil. Por ejemplo, en el artículo de revisión [1] el autor estudia la existencia y unicidad de soluciones para la ecuación de Schröndinger no lineal. Sin embargo, en las ecuaciones hiperbólicas la existencia y la unicidad de las soluciones son un problema abierto. El objetivo de este trabajo es mostrar la existencia de soluciones para un sistema hiperbólico de leyes de conservación. Consideramos el sistema equilibrado no simétrico

​$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+(\rho \phi (\rho ,w))=f(\rho ,w),\\ (\rho w{)}_t+(\rho w\phi (\rho ,w){)}_x=g(\rho ,w)\end{array}$  (1)

donde φ (ρ,w) = Φ(w)-P(ρ), Φ una función convexa. Este sistema fue considerado en [2] donde el autor mostró la existencia de una solución débil global para el sistema homogéneo(1). Otro sistema del tipo(1)fue considerado en [3] como una generalización a las ecuaciones escalares de Buckley-Leverett que describen el flujo de dos fases en medios porosos.  El sistema(1), recientemente, ha sido objeto de constantes estudios, en [4] el autor consideró el caso particular en el que $\Phi (w)=w,P(\rho )=\frac{1}{\rho },$ en este caso las dos características del sistema(1)son lineales degeneradas, resolviendo el problema de Riemann se estableció la existencia y unicidad de la solución de choque delta. En esta línea en [5] los autores consideraron el caso Φ(w) = w y $P(\rho )=\frac{B}{\rho \alpha }$ con α ∈ (0,1), la existencia y unicidad de soluciones al problema de Riemann se obtuvo resolviendo la condición generalizada de Rankine-Hugoniot. En ambos casos, cuando Φ (s) = s el sistema (1) modela el flujo de tráfico vehicular en una autopista sin entrada ni salida de coches, en este caso el término fuente representa la entrada o salida de coches ver [6],[7], [8] y referencia en ellos para una descripción más detallada del término fuente.

• Materias:Análisis numérico Análisis Matemático Sistema dinámico (Matemáticas)
• Subjects:Numerical analysis Mathematical Analysis Dynamic system (Mathematics)
• Palabras claves:Sistema hiperbólico; Soluciones débiles globales; Sistema no simétrico ; Tipo Keyfitz-Kranzer
• Keywords:Hyperbolic system; Global weak solutions; Non-symmetric system; Keyfitz-Kranzer type