Resumen

Sea (M, g) una variedad riemanniana que es compacta, conexa y homogénea, es decir, tal que cada par de puntos p, q ∈ M tienen vecindades isométricas. Este artículo constituye un primer paso en el estudio de qué tan general es el hecho de que para cada condición inicial “genérica” f0 en (M, g), la solución de ∂f / ∂t = ∆_gf, f (·,0) = f0 es tal que para suficientemente grande, f(·, t) es una función de Morse minimal, es decir, una función de Morse cuyo número total de puntos críticos es el mínimo posible en M. En este artículo se muestra que esto es cierto en el caso de toros planos y esferas redondas, de todas las dimensiones.

1 INTRODUCCIÓN

La ecuación del calor es posiblemente la ecuación diferencial parcial más importante de las matemáticas y la física. Esta ecuación también parece ser omnipresente en la geometría, así como en muchas otras ramas de las matemáticas. En un sugerente artículo Serge Lang y Jay Jorgenson llamaron al Núcleo de Calor ... un artilugio universal que es un factor dominante prácticamente en todas partes en las matemáticas, también en la física, y tiene propiedades muy simples y poderosas. En esta breve nota presentamos pruebas que corroboran la relevancia de la Ecuación del Calor, en una dirección aparentemente novedosa. En concreto, presentamos dos casos concretos en los que la Ecuación del Calor descubre por sí sola funciones mínimas de Morse. Esto podría ser, sin embargo, una manifestación de un fenómeno que podría darse en variedades riemannianas homogéneas más generales.

Sea M una variedad lisa, cerrada, conectada y orientada, y sea g una métrica riemanniana sobre M. En cada espacio tangente T_p(M), la métrica g determina una función bilineal {,}_g. Para cualquier función suave f sobre M, recordemos que el gradiente se define como el campo vectorial grad(f) en T (M) que satisface {grad(f), ζ}_g= ζ(f), para todo ζ T(M). Denotamos por la conexión Levi-Civita determinada por la métrica g. Para cada campo vectorial suave X en M, su divergencia se define como div(X) = traza(ζ _ζ(X)). El laplaciano (u operador de Laplace-Beltrami) en (M, g) de una función suave f : M se define como Δ_gf = div(grad(f)).

La ecuación del calor en (M, g) es la ecuación diferencial parcial ∂_f /∂_t = Δ_gf. Una solución al problema de condiciones iniciales

​$Bigg{ egin{matrix} ∂f/∂/t = Δ_gf f(.,0) = f_0 ∈ L^2 (M) end{matrix}$             (1)

• Materias:Algoritmos (Matemáticas) Análisis numérico Calor Energía térmica
• Subjects:Agorithms (Math) Numerical analysis Heat Thermal energy
• Palabras claves:Función Morse; Ecuación de calor
• Keywords:Morse function; Heat equation