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Una primera lección de Geometría AlgebraicaA First Lesson in Algebraic Geometry

Resumen

En este artículo se explica cómo aparece la Geometría Algebraica, partiendo del estudio de los conjuntos de soluciones de sistemas algebraicos.

Introducción

El propósito es ofrecer una introducción a la Geometría Algebraica, partiendo de nociones elementales. Los cursos usuales de Geometría Algebraica empiezan “muy adelante”. No hay una primera clase en la que se discuta de donde proviene el interés por el estudio de los objetos que se definen. Se espera llenar este vacío.

En este artículo ℂ denotará el campo de los números complejos, An el conjunto de n−tuplas de números complejos, y ℂ [X1, . . . , Xn] el anillo de polinomios en las variables X1, . . . , Xn. El álgebra desde sus inicios se enfrentó con el problema de “hallar” las soluciones de un sistema de ecuaciones de tipo algebraico. Esto condujo al problema más conceptual de “entender” el conjunto de soluciones X ⊂ An de un sistema de m

ecuaciones de tipo algebraico en n incógnitas:

f1(X1, . . . , Xn) = 0 ,

f2(X1, . . . , Xn) = 0 ,

.

.

.

fm(X1, . . . , Xn) = 0 ,

donde cada fi (X1, . . . , Xn) ∈ ℂ [X1, . . . , Xn]. Dicho de otra manera, la Geometría Algebraica se dedica a “entender” los conjuntos de soluciones de los sistemas algebraicos. El sentido de “entender” que se adoptará será el de contestar las siguientes dos preguntas:

  1. ¿Tiene el sistema alguna solución, es decir, es X /= φ?
  2. ¿Cúando dos sistemas dados tienen las “mismas” soluciones?

En las siguientes secciones se verá cómo estas preguntas originan los principales problemas de la Geometría Algebraica.

2 El problema de la existencia de soluciones de un sistema algebraico

Si se tiene un sistema algebraico de una sola ecuación con una sola incógnita, el problema de existencia de soluciones es resuelto de manera exacta por el famoso Teorema Fundamental del álgebra, demostrado por Gauss [3]. Este teorema afirma que siempre

existe alguna solución, a menos que el polinomio sea una constante distinta de cero. El problema general de existencia de soluciones de un sistema admite dos tipos de solución. Un replanteamiento teórico (que podríamos llamar “solución teórica”) y una solución computacional.

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