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Universalidad de la computación cuántica geométrica: modelo de tres estadosUniversality of computation geometric quantum: three-state model

Resumen

El modelo de tres estados es un modelo de computación cuántica geométrica. Se ilustra que éste es un modelo de computación cuántica universal, con base en el trabajo desarrollado por Niskanen, Nakahara y Salomaa [16]. Las universalidades U(2) y U(2n≥1) del modelo se obtienen a partir de la construcción de las compuertas de rotación Rx(α) y Ry(α), y de las compuertas de Hadamard H y de fase B(η), respectivamente. Para cada compuerta, se presenta explícitamente el operador de holonomía ΓA(γ) y el ciclo γ sobre el cual es construída.

Introducción

En la actualidad, la Computación Cuántica Geométrica (CCG) es un área activa de investigación en el contexto de la Computación Cuántica y realiza aportes a ésta última, en las subáreas de modelos de computación y propuestas de implementación, como es evidenciado por las diferentes publicaciones en el área [28, 19, 9, 10, 17, 8, 11, 13, 16]. La CCG está sustentada en varios fenómenos y situaciones físicas observadas experimentalmente (tales como la fase de Berry y la evolución adiabática), en la formulación matemática de las mismas (en la teoría de los haces fibrados principales) y en la posibilidad de “realizar” compuertas cuánticas (compuertas de fase) con el corpus  físico-matemático anterior. La fase a partir de la cual se construyen las compuertas cuánticas en los modelos de CCG tiene un carácter puramente geométrico, detallado teóricamente por grupos de holonomías adecuadamente formulados.

En la Computación Cuántica Geométrica Abeliana (CCGA),la conexión o potencial gauge toma valores en el algebra conmutativa de Lie asociada al grupo de Lie U(1), de donde se obtienen entonces compuertas cuánticas de fase abelianas [24, 25], mientras que en la Computación Cuántica Geométrica No Abeliana (CCGNA), la conexión toma valores en el algebra no conmutativa de Lie asociada al grupo de Lie U(2n≥1), en cuyo caso se obtienen compuertas cuánticas de fase no abelianas[26].

Por otra parte, la universalidad de un modelo de computación cuántica, es decir, su capacidad de realizar cualquier operación que realice una maquina de Turing, se establece por su capacidad de generar un conjunto de compuertas cuánticas U, tales que cualquier transformación unitaria U(2n≥1), es decir, cualquier compuerta cuántica que opere sobre n-qubits, puede ser aproximada con suficiente exactitud por un circuito cuántico que consta únicamente de un numero finito de compuertas del conjunto U[12].

El objetivo del presente artıculo es ilustrar explícitamente la universalidad del modelo dé CCGNA denominado modelo de tres estados [16, 15, 26, 27]. En principio, para obtenerla universalidad de un modelo de computación cuántica serıa necesario una demostración por inducción, a partir de la cual se establezca la universalidad para las compuertas cuánticas U(2) de 1-qubit,U(4) de 2-qubits,U(8) de 3-qubits y así sucesivamente, hasta establecer la universalidad de las compuertas U(2n) de n-qubits.

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