Integración de señales continúas de longitud finita o periódica usando la DFT
Integration of finite length or periodic continuous signals using the DFT
Se presenta una relación entre los coeficientes de la serie de Fourier de una señal continua de duración finita o periódica g(t) y la DFT de la señal discreta Xn que resulta al tomar N muestras de g(t) en el intervalo en que se encuentra definida, o en un periodo. A partir de esta relación se deriva un método para obtener muestras de la integral de g(t) usando la DFT de sus muestras, cuando g está limitada en frecuencia (en el sentido de que tiene un número finito de coeficientes de Fourier) y se muestra una aplicación en la integración de señales sísmicas de aceleración.
1. INTRODUCCIÓN
La motivación inicial de este trabajo fue generar un método alternativo para la integración de señales sísmicas digitales de aceleración, como asesoría de los autores a un proyecto de procesamiento e interpretación de información sísmica [1]. En vez de usar una rutina de integración típica como la regla de Simpson, surgió la idea de refrasear la propiedad de integración de la transformada de Fourier en tiempo continuo (integrar en tiempo equivale a dividir en frecuencia entre jÚ) en términos de la transformada discreta de Fourier (DFT), de señales discretas de longitud finita.
En las secciones 3 y 4 se presenta la relación entre los coeficientes de Fourier de una señal continua de longitud finita o periódica y la DFT de sus muestras, en particular, cómo cuando la señal es limitada en frecuencia y se toma un número suficiente de muestras, toda su información se encuentra en la DFT. Esta relación es similar a la de muestreo para la transformada de Fourier en tiempo continuo [3],[4] y permite justificar teóricamente el método de integración en el dominio de la frecuencia que se presenta en la sección 5. Este método se emplea en la sección 6 para integrar las señales sísmicas de aceleración antes mencionadas.
2. DEFINICIONES Y NOTACIÓN
T es un número real positivo y N es un entero mayor que cero; /0,N-l/ es el intervalo de números enteros entre 0 y N-1; [m]n ("m módulo n") denota el residuo de la división entera de m entren.
g:[O,T] C es una señal continua de longitud finita suave a trozos, es decir tanto g como g´ están definidas en todo el intervalo y son funciones continuas excepto en un subconjunto finito de puntos donde los límites izquierdo y derecho existen, y:
Los resultados que se derivarán, así como el método de integración, aplican también si se considera una señal periódica con periodo T y entonces se requiere que la condición (1) se cumpla para todo t en R.
Este documento es un artículo elaborado por Camilo Vejarano A. (Estudiante de Ing. Eléctrica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia), Alfredo Restrepo P. (Profesor Asociado, Departamento de Ing. Eléctrica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia) para la Revista de Ingeniería Núm. 18. Publicación de la Universidad de los Andes. Colombia. Contacto: [email protected]
Recursos
-
Formatopdf
-
Idioma:español
-
Tamaño:377 kb