Se presenta un nuevo método de integración numérica para sistemas perturbados y amortiguados de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Este nuevo método, bajo ciertas condiciones, integra, sin error de truncamiento, los IVPs (problemas de valor inicial) del tipo: , , , , que aparecen en dinámica estructural, astrofísica y otros campos de la física y la ingeniería. En este artículo, se construye una sucesión de funciones reales con valores en el álgebra de matrices. Se estudian sus propiedades y expresamos la solución del IVP propuesto a través de una expansión en serie del mismo, cuyos coeficientes se calculan mediante recurrencias que involucran la función de perturbación. Esta expresión de la solución se utiliza para la construcción del nuevo método numérico. Tres problemas son resueltos mediante el nuevo método de series; contrastamos los resultados obtenidos con la solución exacta del problema y con su primera integral. En el primer problema, se integra una órbita cuasi-periódica; en el segundo, se estudia un problema de dinámica estructural asociado a un terremoto; en el tercero, se resuelve un problema de satélite ecuatorial cuando la perturbación proviene de armónicos zonales. El buen comportamiento del método de series se muestra al comparar los resultados obtenidos con otros integradores.