Sea una superficie no orientable de género con perforaciones y un componente de borde. En este documento, describimos multicurvas haciendo uso de coordenadas generalizadas de Dynnikov, y damos fórmulas explícitas para la acción de transposiciones de tapa cruzada y sus inversas en el conjunto de multicurvas en en términos de coordenadas generalizadas de Dynnikov. Esto proporciona una forma de resolver en superficies no orientables varios problemas dinámicos y combinatorios que surgen en el estudio de grupos de clases de mapeo y la teoría de homeomorfismos de superficies de Thurston, que antes solo se resolvían en superficies orientables.