Se estudia la clase de aplicaciones holomorfas de un disco con un punto fijo en el borde. Para esta clase de funciones, el famoso teorema de Julia-Carathéodory proporciona una estimación precisa de la derivada angular en el punto fijo del borde en función de la imagen del punto interior. En el caso en que se conozca información adicional sobre el valor de la derivada en el punto interior, se obtiene una estimación precisa de la derivada angular en el punto fijo del borde. Como consecuencia, se establece la precisión del lema de Dieudonné-Pick en el borde y se identifica la clase de funciones extremas. También se obtiene un fortalecimiento inmejorable del lema general de Osserman en el borde.