Consideramos la siguiente ecuación diferencial estocástica fraccional, donde es la función inicial, es el operador diferencial fraccional de Caputo-Katugampola de órdenes , la función es Lipschitz continua en la segunda variable, denota la derivada generalizada del proceso de Wiener y representa el nivel de ruido. El resultado principal del artículo se centra en el límite de crecimiento de energía y el comportamiento asintótico de la solución aleatoria. Además, empleamos el teorema del punto fijo de Banach para establecer la existencia y unicidad de la solución suave.