El objetivo de este documento es presentar un método numérico iterativo para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden sujetas a condiciones de contorno periódicas. Esta técnica iterativa se basa en el uso del método del espacio de Hilbert de núcleo reproductor en el que cada función satisface las condiciones de contorno periódicas. El método actual es preciso, requiere menos esfuerzo para lograr los resultados y está especialmente desarrollado para casos no lineales. Además, el método actual nos permite aproximar las soluciones y sus derivadas en cada punto del rango de integración. De hecho, se proporcionan tres ejemplos numéricos para ilustrar la efectividad del método actual. Los resultados obtenidos muestran que el esquema numérico es muy efectivo y conveniente para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con condiciones de contorno periódicas.