En este documento, estudiamos más a fondo la función generatriz que implica una variedad de números especiales y polinomios construidos por el segundo autor. Aplicando la transformación de Mellin a esta función generatriz, definimos una nueva clase de funciones tipo zeta, que está relacionada con las funciones de interpolación de los polinomios de Apostol-Bernoulli, los polinomios de Bernoulli y los polinomios de Euler. Esta nueva clase de funciones tipo zeta está relacionada con la función zeta de Hurwitz, la función zeta de Hurwitz alternante y la función zeta de Lerch. Además, utilizando estas funciones, derivamos algunas identidades y sumas combinatorias que implican los números y polinomios de Bernoulli y los números y polinomios de Euler.