Definimos una generalización del número de vueltas de un ciclo a trozos en el plano complejo que tiene un significado geométrico también para puntos que se encuentran en el ciclo. El cálculo de este número de vueltas se basa en el valor principal de Cauchy, pero también es posible en una versión real a través de una integral con integrando acotado. El nuevo número de vueltas permite establecer un teorema de residuos generalizado que abarca también la situación en la que las singularidades se encuentran en el ciclo. Este teorema de residuos se puede utilizar para calcular el valor de integrales impropias para las cuales la técnica estándar con el teorema de residuos clásico no se aplica.