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Numfracpy, Técnicas del Cálculo Fraccionario en Python
En este trabajo se introduce una librería en el lenguaje Python que implementa técnicas propias del cálculo fraccionario. Este tipo de cálculo ha visto un incremento notable de sus aplicaciones en diversas áreas de las ciencias en las últimas décadas. Sin embargo, el tipo de cálculos que se necesitan para su desarrollo no son simples y no hay muchas ayudas computacionales para su implementación, especialmente en Python. Numfracpyse encuentra disponible al público en el índice de paquetes PyPI (PythonPackage Index) e implementa diversos conceptos del cálculo fraccionario como lo son: La integral y la derivada de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo, la derivada de Grünwald-Letnikov, las funciones de Mittag-Leffler, la solución numérica de un tipo de ecuación diferencial en derivadas fraccionarias y un sistema de tales ecuaciones diferenciales. En este trabajo se presentan varios algoritmos implementados y los resultados obtenidos se comparan con aquellos reportados en la literatura, encontrando una buena aproximación en los diferentes ejemplos ilustrados.
INTRODUCCIÓN
El cálculo fraccionario surge para introducir derivadas de orden no entero y permite unificar los conceptos de integral y derivada. Ya desde los orígenes del cálculo clásico se especuló acerca del significado de una derivada de orden 12frac{1}{2}, de tal manera que D1/2D1/2f=DfD^{1/2} D^{1/2} f = Df, como se evidencia en una carta de Gottfried Wilhelm Leibniz a Guillaume de LHöpital en 1695 [1]. Sin embargo, su desarrollo se dio principalmente en los siglos XIX y XX.
Fue Niels Henrik Abel quien dio un primer desarrollo de las nociones fundamentales de la integral y la derivada de orden no entero y su unificación [2, 3], trabajo análogo que desarrolló paralelamente Joseph Liouville [4, 5]. A lo largo de la historia se han dado múltiples definiciones para la integral y derivada de orden no entero, lo cual ha obstaculizado, en cierta medida, la asimilación de estas técnicas en las diferentes áreas de las ciencias. Sin embargo, en la literatura moderna [6, 7], la mayoría de las definiciones suelen fundamentarse en la integral de Riemann-Liouville, y aunque existen diversas definiciones para la derivada [8, 9, 10], como: la derivada de Riemann-Liouville, de Caputo, de Grüwald-Letnikov, y de Riesz, la mayoría de las aplicaciones que usan ecuaciones diferenciales en derivadas fraccionarias lo hacen aplicando la derivada de Caputo, pues las condiciones iniciales replican las que se tienen para las ecuaciones diferenciales en derivadas ordinarias.
Es importante destacar que, además del interés teórico natural que recibe el cálculo fraccionario, se ha logrado aplicarlo en áreas tan diversas como: el estudio de la viscoelasticidad [11], la difusión anómala en sistemas biológicos [12], propagación ondulatoria [13], imágenes médicas por ultrasonido y elastografía [14], la espectroscopía de impedancia eléctrica [15], la teoría de control [16], el tratamiento de imágenes [17], entre muchos otros [18, 19]. Sin embargo, los cálculos para resolver modelos sencillos no son simples, y con este fin se disponen de algunas ayudas computacionales. En el software MatLab se dispone de paquetes como [20] FOTF, NINTEGER, CRONE, FOMCON, DFOD, y los mencionados en [21], entre otros.
Autores: López Melo, Jorge Hernán; Riascos, Alejandro P.
Idioma: Español
Editor: Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia - UPTC
Año: 2024
Artículos
Categoría
Ingeniería y Tecnología
Licencia
Atribución
Consultas: 20
Citaciones: Ciencia en Desarrollo Vol. 15 Núm. 2
Este documento es un artículo elaborado por Jorge Hernán López Melo y Alejandro P. Riascos?(Universidad de Nariño,?Colombia) para la revista?Ciencia en Desarrollo Vol. 15 Núm. 2. Publicación de la?Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Contacto: cienciaendesarrollo@uptc.edu.co
En este trabajo se introduce una librería en el lenguaje Python que implementa técnicas propias del cálculo fraccionario. Este tipo de cálculo ha visto un incremento notable de sus aplicaciones en diversas áreas de las ciencias en las últimas décadas. Sin embargo, el tipo de cálculos que se necesitan para su desarrollo no son simples y no hay muchas ayudas computacionales para su implementación, especialmente en Python. Numfracpyse encuentra disponible al público en el índice de paquetes PyPI (PythonPackage Index) e implementa diversos conceptos del cálculo fraccionario como lo son: La integral y la derivada de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo, la derivada de Grünwald-Letnikov, las funciones de Mittag-Leffler, la solución numérica de un tipo de ecuación diferencial en derivadas fraccionarias y un sistema de tales ecuaciones diferenciales. En este trabajo se presentan varios algoritmos implementados y los resultados obtenidos se comparan con aquellos reportados en la literatura, encontrando una buena aproximación en los diferentes ejemplos ilustrados.
INTRODUCCIÓN
El cálculo fraccionario surge para introducir derivadas de orden no entero y permite unificar los conceptos de integral y derivada. Ya desde los orígenes del cálculo clásico se especuló acerca del significado de una derivada de orden 12frac{1}{2}, de tal manera que D1/2D1/2f=DfD^{1/2} D^{1/2} f = Df, como se evidencia en una carta de Gottfried Wilhelm Leibniz a Guillaume de LHöpital en 1695 [1]. Sin embargo, su desarrollo se dio principalmente en los siglos XIX y XX.
Fue Niels Henrik Abel quien dio un primer desarrollo de las nociones fundamentales de la integral y la derivada de orden no entero y su unificación [2, 3], trabajo análogo que desarrolló paralelamente Joseph Liouville [4, 5]. A lo largo de la historia se han dado múltiples definiciones para la integral y derivada de orden no entero, lo cual ha obstaculizado, en cierta medida, la asimilación de estas técnicas en las diferentes áreas de las ciencias. Sin embargo, en la literatura moderna [6, 7], la mayoría de las definiciones suelen fundamentarse en la integral de Riemann-Liouville, y aunque existen diversas definiciones para la derivada [8, 9, 10], como: la derivada de Riemann-Liouville, de Caputo, de Grüwald-Letnikov, y de Riesz, la mayoría de las aplicaciones que usan ecuaciones diferenciales en derivadas fraccionarias lo hacen aplicando la derivada de Caputo, pues las condiciones iniciales replican las que se tienen para las ecuaciones diferenciales en derivadas ordinarias.
Es importante destacar que, además del interés teórico natural que recibe el cálculo fraccionario, se ha logrado aplicarlo en áreas tan diversas como: el estudio de la viscoelasticidad [11], la difusión anómala en sistemas biológicos [12], propagación ondulatoria [13], imágenes médicas por ultrasonido y elastografía [14], la espectroscopía de impedancia eléctrica [15], la teoría de control [16], el tratamiento de imágenes [17], entre muchos otros [18, 19]. Sin embargo, los cálculos para resolver modelos sencillos no son simples, y con este fin se disponen de algunas ayudas computacionales. En el software MatLab se dispone de paquetes como [20] FOTF, NINTEGER, CRONE, FOMCON, DFOD, y los mencionados en [21], entre otros.
Descripción
En este trabajo se introduce una librería en el lenguaje Python que implementa técnicas propias del cálculo fraccionario. Este tipo de cálculo ha visto un incremento notable de sus aplicaciones en diversas áreas de las ciencias en las últimas décadas. Sin embargo, el tipo de cálculos que se necesitan para su desarrollo no son simples y no hay muchas ayudas computacionales para su implementación, especialmente en Python. Numfracpyse encuentra disponible al público en el índice de paquetes PyPI (PythonPackage Index) e implementa diversos conceptos del cálculo fraccionario como lo son: La integral y la derivada de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo, la derivada de Grünwald-Letnikov, las funciones de Mittag-Leffler, la solución numérica de un tipo de ecuación diferencial en derivadas fraccionarias y un sistema de tales ecuaciones diferenciales. En este trabajo se presentan varios algoritmos implementados y los resultados obtenidos se comparan con aquellos reportados en la literatura, encontrando una buena aproximación en los diferentes ejemplos ilustrados.
INTRODUCCIÓN
El cálculo fraccionario surge para introducir derivadas de orden no entero y permite unificar los conceptos de integral y derivada. Ya desde los orígenes del cálculo clásico se especuló acerca del significado de una derivada de orden 12frac{1}{2}, de tal manera que D1/2D1/2f=DfD^{1/2} D^{1/2} f = Df, como se evidencia en una carta de Gottfried Wilhelm Leibniz a Guillaume de LHöpital en 1695 [1]. Sin embargo, su desarrollo se dio principalmente en los siglos XIX y XX.
Fue Niels Henrik Abel quien dio un primer desarrollo de las nociones fundamentales de la integral y la derivada de orden no entero y su unificación [2, 3], trabajo análogo que desarrolló paralelamente Joseph Liouville [4, 5]. A lo largo de la historia se han dado múltiples definiciones para la integral y derivada de orden no entero, lo cual ha obstaculizado, en cierta medida, la asimilación de estas técnicas en las diferentes áreas de las ciencias. Sin embargo, en la literatura moderna [6, 7], la mayoría de las definiciones suelen fundamentarse en la integral de Riemann-Liouville, y aunque existen diversas definiciones para la derivada [8, 9, 10], como: la derivada de Riemann-Liouville, de Caputo, de Grüwald-Letnikov, y de Riesz, la mayoría de las aplicaciones que usan ecuaciones diferenciales en derivadas fraccionarias lo hacen aplicando la derivada de Caputo, pues las condiciones iniciales replican las que se tienen para las ecuaciones diferenciales en derivadas ordinarias.
Es importante destacar que, además del interés teórico natural que recibe el cálculo fraccionario, se ha logrado aplicarlo en áreas tan diversas como: el estudio de la viscoelasticidad [11], la difusión anómala en sistemas biológicos [12], propagación ondulatoria [13], imágenes médicas por ultrasonido y elastografía [14], la espectroscopía de impedancia eléctrica [15], la teoría de control [16], el tratamiento de imágenes [17], entre muchos otros [18, 19]. Sin embargo, los cálculos para resolver modelos sencillos no son simples, y con este fin se disponen de algunas ayudas computacionales. En el software MatLab se dispone de paquetes como [20] FOTF, NINTEGER, CRONE, FOMCON, DFOD, y los mencionados en [21], entre otros.