Un grafo se dice crítico si el número de dominación conectada es igual a y para cualquier par de vértices no adyacentes y de . Sea el número de vértices de corte de y sea el número máximo de vértices de corte que puede contener un bloque. Para un entero , un grafo es -crítico si tiene un emparejamiento perfecto para cualquier subconjunto de vértices de tamaño . Fue demostrado por Ananchuen en 2007 para , Kaemawichanurat y Ananchuen en 2010 para y por Kaemawichanurat y Ananchuen en 2020 para que todo grafo crítico tenga a lo sumo vértices de corte y se caracterizaron los grafos con el número máximo de vértices de corte. En 2020, Kaemawichanurat y Ananchuen demostraron además que, para , todos los grafos críticos cumplen la desigualdad . En este artículo, caracterizamos todos los grafos críticos que tienen vértices de corte. Además, establecemos la realizabilidad de que, dados , y , existe un grafo crítico con vértices de corte que tiene un bloque que contiene vértices de corte. Finalmente, demostramos que todo grafo crítico de orden impar con grado mínimo dos es 1-crítico si y solo si . Además, demostramos que todo grafo -libre crítico de orden par con grado mínimo tres es 2-crítico si y solo si .