Se derivan soluciones exactas en forma cerrada para el movimiento periódico del oscilador quíntico unidimensional, no amortiguado, a partir de la primera integral de la ecuación diferencial no lineal que rige el comportamiento de este oscilador. Dos parámetros caracterizan este oscilador: uno es el coeficiente del término lineal y el otro es el coeficiente del término quíntico. Se considera no solo el caso común en el que ambos coeficientes son positivos, sino también todas las posibles combinaciones de valores positivos y negativos de estos coeficientes que proporcionan movimientos periódicos. El conjunto de posibles combinaciones de signos de estos coeficientes proporciona cuatro casos diferentes, pero solo tres pares diferentes de periodo-solución. Los periodos se dan en términos de la integral elíptica completa de primer tipo y las soluciones involucran la función elíptica de Jacobi. Se presentan y discuten algunos casos particulares obtenidos variando los parámetros que caracterizan este oscilador. Se analiza el comportamiento de los periodos en función