Una idea bien conocida es identificar esferas, puntos y hiperplanos en el espacio euclidiano con puntos en el espacio proyectivo real. Para abordar restricciones geométricas como intersecciones, tangencias y requisitos de ángulo, es importante también codificar las orientaciones de los hiperplanos y esferas. El espacio natural para codificar tales objetos geométricos es el cuádrico proyectivo real con firma. En este artículo, primero proporcionamos una fórmula general para calcular los ángulos formados por los objetos geométricos codificados por los puntos del cuádrico. El resultado principal es la determinación de una parametrización muy simple de un subgrupo tipo Laguerre que actúa de manera transitiva sobre el cuádrico mientras preserva la naturaleza geométrica de sus puntos. Es decir, los puntos del cuádrico que representan esferas orientadas, puntos y hiperplanos orientados en son mapeados por la acción a puntos del mismo tipo geométrico. También proporcionamos parametrizaciones simples de las isotropías de la acción. La acción descrita en este artículo proporciona la base para una solución efectiva a problemas de restricciones geométricas.