Se estudian las propiedades espectrales de dos clases especiales de operadores de Jacobi. Para la primera clase representada por las matrices de Jacobi reales de -dimensiones cuyas entradas son simétricas con respecto a la diagonal secundaria, se obtiene una nueva identidad polinómica que relaciona los autovalores de dichas matrices con sus entradas de matriz. En el límite esta identidad induce algunos requisitos, que deben cumplir los datos de dispersión del operador de Jacobi de dimensión infinita resultante en la semirrecta, cuyos elementos de matriz superiores e inferiores son iguales a . Obtenemos dichos requisitos en el caso más simple del operador discreto de Schrödinger actuando en , que no tiene estados ligados ni semiligados y cuyo potencial tiene un soporte compacto.