La noción de curvas -armónicas está asociada con el problema variacional de orden definido por el funcional de energía -. El presente artículo proporciona una formulación geométrica de este problema variacional de orden superior en una variedad riemanniana y describe una transformación generalizada de Legendre definida desde el haz tangente de orden al haz cotangente. La versión intrínseca de la ecuación de Euler-Lagrange y la correspondiente ecuación hamiltoniana obtenida a través de la transformación de Legendre se logran. La interpolación polinómica geodésica y cúbica está cubierta por este estudio, siendo exploradas aquí como curvas armónicas y biarmónicas. La relación del problema variacional con el problema de control óptimo también se presenta para el caso de las curvas biarmónicas.